POTW 每周一问之:一共五个解?

Celia 70 0

    又到了每周一问的时间!今天在这里分享一道 POTW 蛮有意思的数学题。POTW 详细介绍👉看这里~(说来惭愧,本来是每周一问,每周都有一道数学题,然鹅由于本人太懒,好久不发一篇,上次发 POTW 已经是一年多以前了🤦‍♂️)

    原文:

POTW – What are the Possibilities?nightingale.becomingcelia.com图标

    原题:
    You may be surprised to learn that the equation \((x^2−5x+5)^{x^2+4x−60}=1\) has five solutions.
    Determine all five values of \(x\) that satisfy the equation.

    翻译: \((x^2−5x+5)^{x^2+4x−60}=1\) 共有五个解!是不是很惊讶?找出该等式所有的解。

尝试

    拿到这个题目时,本人拿着这个由一个含有二次\(x\)的底数以及一个含有\(x\)的指数组成的式子,心想,这就是一个复杂的多项式吧。于是本人把等号右边的“1”移到了左边,式子便成了 \((x^2−5x+5)^{x^2+4x−60}-1=0\)。

    嗯,并没有什么实质上的帮助,因为我解不下去了。

    好叭,手工解式子失败,那就试试万能画图神器 Desmos。把完整的等式输进去之后就出现了这样一个图:

    好的现在可以看见四个解了。诶但是,题目说有五个啊?被题目说中了,我的确非常的惊讶 Σ(⊙▽⊙"。

    还有下面这个是什么?Desmos 好像有一个解无法显示,莫非这是虚数解还是什么?

    经过一轮奇奇怪怪的尝试之后本人放弃了,去找之前的补习老师求救,然后就发现——这问题被我过度复杂化了 (。•ˇ‸ˇ•。)。实际上,这问题一点也不难。

三种情况

    让这道题看上去复杂的,是它底数和指数里花里胡哨的多项式。这等式的结构十分简单,假如将这些多项式替换成简单的未知数,那一切就好办了。如果 \(x^2-5x+5=a\) 而 \(x^2+4x-60=m\),那么我们的式子可以写成这样:$$a^m=1$$

    这个时候,只要想想,在\(a\)和\(m\)等于什么的时候会出现上面这样的情况,就能迅速找出答案。

情况#1

    当指数\(m\)等于0时,由于\(a^0=1\),任何数的0次都得一,等号左边等于一。
    \(m=0\)
    \(x^2+4x-60=0\)
    \((x+10)(x-6)=0\)
    \(x=6\) 或 \(x=-10\)

    前两个解,Get (๑•̀ㅂ•́)و✧

情况#2

    当底数\(a\)等于0时,由于\(1^m=1\),1的任何次方都是1,等号左边等于一。
    \(a=1\)
    \(x^2-5x+5=1\)
    \(x^2-5x+4=0\)
    \((x−4)(x−1)=0\)
    \(x=1\) 或 \(x=4\)
    第三第四个解,Get (๑•̀ㅂ•́)و✧

情况#3

    这是比较特殊的一种情况,也是最容易被忽略的情况。当底数\(a\)等于-1并且指数\(m\)为偶数时,\((-1)^{2k}=1\),等式左边为一。

    先来看看\(x\)的哪几个值能使\(a=-1\)
    \(a=-1\)
    \(x^2-5x+5=-1\)
    \(x^2-5x+6=0\)
    \((x−2)(x−3)=0\)
    \(x=2\) 或 \(x=3\)

    虽然这里有两个解,但两个\(x\)值都能让\(m\)是偶数么?

    当\(x=2\)时:
    \(m=x^2+4x-60=2^2+4*2-60=4+8-60=-48\)
    \(m\)的确是偶数,那么 \(x=2\) 是一个解。

    当\(x=3\)时:
    \(m=x^2+4x-60=3^2+4*3-60=9+12-60=-39\)
    \(m\)是奇数,\(x=3\) 不是解。

    因此,我们神秘的第五个解是:\(x=2\)

最终答案

    \(x=-10, 1, 2, 4, 6\)
    五个解齐了~离 Problem of the Week 学期末前三名的巧克力大奖又进了一步。去年因为是第三名拿到的那一块(一大块趣多多)不算太好吃,里面夹了坚果,这次要拿纯巧克力(没有歧视趣多多的意思)!

    有什么问题在下面评论鸭~


11.12更新

    事实证明我成为了全校唯一做出这道题的小盆友,之前因为偷懒漏了一次没做题掉到了第六名,现在直接蹦回到第二名 (*^▽^*)~

标签: 大开眼界 其他

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