又到了每周一问的时间！今天在这里分享一道 POTW 蛮有意思的数学题。POTW 详细介绍👉看这里~（说来惭愧，本来是每周一问，每周都有一道数学题，然鹅由于本人太懒，好久不发一篇，上次发 POTW 已经是一年多以前了🤦♂️）
原文：
POTW – What are the Possibilities?
原题：
You may be surprised to learn that the equation \((x^2−5x+5)^{x^2+4x−60}=1\) has five solutions.
Determine all five values of \(x\) that satisfy the equation.
翻译： \((x^2−5x+5)^{x^2+4x−60}=1\) 共有五个解！是不是很惊讶？找出该等式所有的解。
尝试
拿到这个题目时，本人拿着这个由一个含有二次\(x\)的底数以及一个含有\(x\)的指数组成的式子，心想，这就是一个复杂的多项式吧。于是本人把等号右边的“1”移到了左边，式子便成了 \((x^2−5x+5)^{x^2+4x−60}-1=0\)。
嗯，并没有什么实质上的帮助，因为我解不下去了。
好叭，手工解式子失败，那就试试万能画图神器 Desmos。把完整的等式输进去之后就出现了这样一个图：
好的现在可以看见四个解了。诶但是，题目说有五个啊？被题目说中了，我的确非常的惊讶 Σ(⊙▽⊙"。
还有下面这个是什么？Desmos 好像有一个解无法显示，莫非这是虚数解还是什么？
经过一轮奇奇怪怪的尝试之后本人放弃了，去找之前的补习老师求救，然后就发现——这问题被我过度复杂化了 (｡•ˇ‸ˇ•｡)。实际上，这问题一点也不难。
三种情况
让这道题看上去复杂的，是它底数和指数里花里胡哨的多项式。这等式的结构十分简单，假如将这些多项式替换成简单的未知数，那一切就好办了。如果 \(x^2-5x+5=a\) 而 \(x^2+4x-60=m\)，那么我们的式子可以写成这样：$$a^m=1$$
这个时候，只要想想，在\(a\)和\(m\)等于什么的时候会出现上面这样的情况，就能迅速找出答案。
情况#1
当指数\(m\)等于0时，由于\(a^0=1\)，任何数的0次都得一，等号左边等于一。
\(m=0\)
\(x^2+4x-60=0\)
\((x+10)(x-6)=0\)
\(x=6\) 或 \(x=-10\)
前两个解，Get (๑•̀ㅂ•́)و✧
情况#2
当底数\(a\)等于0时，由于\(1^m=1\)，1的任何次方都是1，等号左边等于一。
\(a=1\)
\(x^2-5x+5=1\)
\(x^2-5x+4=0\)
\((x−4)(x−1)=0\)
\(x=1\) 或 \(x=4\)
第三第四个解，Get (๑•̀ㅂ•́)و✧
情况#3
这是比较特殊的一种情况，也是最容易被忽略的情况。当底数\(a\)等于-1并且指数\(m\)为偶数时，\((-1)^{2k}=1\)，等式左边为一。
先来看看\(x\)的哪几个值能使\(a=-1\)
\(a=-1\)
\(x^2-5x+5=-1\)
\(x^2-5x+6=0\)
\((x−2)(x−3)=0\)
\(x=2\) 或 \(x=3\)
虽然这里有两个解，但两个\(x\)值都能让\(m\)是偶数么？
当\(x=2\)时：
\(m=x^2+4x-60=2^2+4*2-60=4+8-60=-48\)
\(m\)的确是偶数，那么 \(x=2\) 是一个解。
当\(x=3\)时：
\(m=x^2+4x-60=3^2+4*3-60=9+12-60=-39\)
\(m\)是奇数，\(x=3\) 不是解。
因此，我们神秘的第五个解是：\(x=2\)
最终答案
\(x=-10, 1, 2, 4, 6\)
五个解齐了~离 Problem of the Week 学期末前三名的巧克力大奖又进了一步。去年因为是第三名拿到的那一块（一大块趣多多）不算太好吃，里面夹了坚果，这次要拿纯巧克力（没有歧视趣多多的意思）！
有什么问题在下面评论鸭~
11.12更新
事实证明我成为了全校唯一做出这道题的小盆友，之前因为偷懒漏了一次没做题掉到了第六名，现在直接蹦回到第二名 (*^▽^*)~
微信
还木有评论哦，快来抢沙发吧~