POTW 每周一问之：一共五个解？

Celia 2020年11月11日 09:59 584 0

又到了每周一问的时间！今天在这里分享一道 POTW 蛮有意思的数学题。POTW 详细介绍👉看这里~（说来惭愧，本来是每周一问，每周都有一道数学题，然鹅由于本人太懒，好久不发一篇，上次发 POTW 已经是一年多以前了🤦‍♂️）

原文：

POTW – What are the Possibilities?nightingale.becomingcelia.com

原题：
You may be surprised to learn that the equation $(x^2−5x+5)^{x^2+4x−60}=1$ has five solutions.
Determine all five values of $x$ that satisfy the equation.

翻译： $(x^2−5x+5)^{x^2+4x−60}=1$ 共有五个解！是不是很惊讶？找出该等式所有的解。

尝试

拿到这个题目时，本人拿着这个由一个含有二次$x$的底数以及一个含有$x$的指数组成的式子，心想，这就是一个复杂的多项式吧。于是本人把等号右边的“1”移到了左边，式子便成了 $(x^2−5x+5)^{x^2+4x−60}-1=0$。

嗯，并没有什么实质上的帮助，因为我解不下去了。

好叭，手工解式子失败，那就试试万能画图神器 Desmos。把完整的等式输进去之后就出现了这样一个图：

好的现在可以看见四个解了。诶但是，题目说有五个啊？被题目说中了，我的确非常的惊讶 Σ(⊙▽⊙"。

还有下面这个是什么？Desmos 好像有一个解无法显示，莫非这是虚数解还是什么？

经过一轮奇奇怪怪的尝试之后本人放弃了，去找之前的补习老师求救，然后就发现——这问题被我过度复杂化了 (｡•ˇ‸ˇ•｡)。实际上，这问题一点也不难。

三种情况

让这道题看上去复杂的，是它底数和指数里花里胡哨的多项式。这等式的结构十分简单，假如将这些多项式替换成简单的未知数，那一切就好办了。如果 $x^2-5x+5=a$ 而 $x^2+4x-60=m$，那么我们的式子可以写成这样：$$a^m=1$$

这个时候，只要想想，在$a$和$m$等于什么的时候会出现上面这样的情况，就能迅速找出答案。

情况#1

当指数$m$等于0时，由于$a^0=1$，任何数的0次都得一，等号左边等于一。
$m=0$
$x^2+4x-60=0$
$(x+10)(x-6)=0$
$x=6$ 或 $x=-10$

前两个解，Get (๑•̀ㅂ•́)و✧

情况#2

当底数$a$等于0时，由于$1^m=1$，1的任何次方都是1，等号左边等于一。
$a=1$
$x^2-5x+5=1$
$x^2-5x+4=0$
$(x−4)(x−1)=0$
$x=1$ 或 $x=4$
第三第四个解，Get (๑•̀ㅂ•́)و✧

情况#3

这是比较特殊的一种情况，也是最容易被忽略的情况。当底数$a$等于-1并且指数$m$为偶数时，$(-1)^{2k}=1$，等式左边为一。

先来看看$x$的哪几个值能使$a=-1$
$a=-1$
$x^2-5x+5=-1$
$x^2-5x+6=0$
$(x−2)(x−3)=0$
$x=2$ 或 $x=3$

虽然这里有两个解，但两个$x$值都能让$m$是偶数么？

当$x=2$时：
$m=x^2+4x-60=2^2+4*2-60=4+8-60=-48$
$m$的确是偶数，那么 $x=2$ 是一个解。

当$x=3$时：
$m=x^2+4x-60=3^2+4*3-60=9+12-60=-39$
$m$是奇数，$x=3$ 不是解。

因此，我们神秘的第五个解是：$x=2$

最终答案

$x=-10, 1, 2, 4, 6$
五个解齐了~离 Problem of the Week 学期末前三名的巧克力大奖又进了一步。去年因为是第三名拿到的那一块（一大块趣多多）不算太好吃，里面夹了坚果，这次要拿纯巧克力（没有歧视趣多多的意思）！

有什么问题在下面评论鸭~

11.12更新

事实证明我成为了全校唯一做出这道题的小盆友，之前因为偷懒漏了一次没做题掉到了第六名，现在直接蹦回到第二名 (*^▽^*)~

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